Matematika kelas XII semester 2

KELAS XII IPA SEMESTER II

KELAS XII IPA SEMESTER II

BAB I BARISAN DAN DERET

• 1.1 Barisan dan Deret Aritmetika
  1.2 Barisan dan Deret Geometri
  1.3 Notasi Sigma dan Induksi Matematika

BAB II FUNGSI, PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKPONEN

• 2.1 Fungsi Eksponen
  2.2 Persamaan Eksponen
  2.3 Pertidaksamaan Eksponen 

BAB III FUNGSI, PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA

• 3.1 Fungsi Logaritma
• 3.2 Persamaan Logaritma
• 3.3 Pertidaksamaan Logaritma 

BAB I BARISAN DAN DERET
 1.1 barisan dan deret aritmatika

2.  
3. BARISAN ARITMATIKA
   
   U₁, U₂, U₃, .......U_n-1, U_n disebut barisan aritmatika, jika
   U₂ - U₁ = U₃ - U₂ = .... = U_n - U_n-1 = konstanta
   
   Selisih ini disebut juga beda (b) = b =U_n - U_n-1
   
   Suku ke-n barisan aritmatika a, a+b, a+2b, ......... , a+(n-1)b
                                         U₁, U₂,   U₃ ............., U_n
   
   Rumus Suku ke-n :
   
   U_n = a + (n-1)b = bn + (a-b) ® Fungsi linier dalam n
   
   
   
4. DERET ARITMATIKA
   
   a + (a+b) + (a+2b) + . . . . . . + (a + (n-1) b) disebut deret aritmatika.
   
   a = suku awal
   b = beda
   n = banyak suku
   U_n = a + (n - 1) b adalah suku ke-n
   
   Jumlah n suku
   
   Sn = 1/2 n(a+U_n)
         = 1/2 n[2a+(n-1)b]
         = 1/2bn² + (a - 1/2b)n ® Fungsi kuadrat (dalam n)
   
   Keterangan:
   
   
   1. Beda antara dua suku yang berurutan adalah tetap (b = S_n")
      
      
   2. Barisan aritmatika akan naik jika b > 0
      Barisan aritmatika akan turun jika b < 0
      
      
   3. Berlaku hubungan U_n = S_n - S_n-1 atau Un = S_n' - 1/2 S_n"
      
      
   4. Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah
      
      U_t = 1/2 (U₁ + U_n) = 1/2 (U₂ + U_n-1)          dst.
      
      
   5. S_n = 1/2 n(a+ U_n) = nU_t ® U_t = Sn / n
      
      
   Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan aritmatika, maka untuk memudahkan perhitungan misalkan bilangan-bilangan itu adalah a - b , a , a + b 

1. BARISAN GEOMETRI
   
   U₁, U₂, U₃, ......., U_n-1, U_n disebut barisan geometri, jika
   
   U₁/U₂ = U₃/U₂ = .... = U_n / U_n-1 = konstanta
   
   Konstanta ini disebut pembanding / rasio (r)
   
   Rasio r = U_n / U_n-1
   
   Suku ke-n barisan geometri
   
   a, ar, ar² , .......ar^n-1
   U₁, U₂, U₃,......,U_n
   
   Suku ke n U_n = ar^n-1 ® fungsi eksponen (dalam n)
   
   
   
2. DERET GEOMETRI
   
   a + ar² + ....... + ar^n-1 disebut deret geometri
   a = suku awal
   r = rasio
   n = banyak suku
   
   Jumlah n suku
   
   Sn = a(rⁿ-1)/r-1 , jika r>1
         = a(1-rⁿ)/1-r , jika r<1    ® Fungsi eksponen (dalam n)
   
   Keterangan:
   
   
   1. Rasio antara dua suku yang berurutan adalah tetap
      
   2. Barisan geometri akan naik, jika untuk setiap n berlaku
      U_n > U_n-1
      
   3. Barisan geometri akan turun, jika untuk setiap n berlaku
      U_n < U_n-1
      
      Bergantian naik turun, jika r < 0
      
      
   4. Berlaku hubungan U_n = S_n - S_n-1
      
   5. Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah
                _______      __________
      Ut = Ö U₁xU_n    = Ö U₂ X U_n-1      dst.  
      
      
   6. Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan geometri, maka untuk memudahkan perhitungan, misalkan bilangan-bilangan itu adalah a/r, a, ar
      
      
      
3. DERET GEOMETRI TAK BERHINGGA
   
   Deret Geometri tak berhingga adalah penjumlahan dari
   
   U₁ + U₂ + U₃ + ..............................
   
   ¥
   å Un = a + ar + ar² .........................
   n=1
   
   dimana n ® ¥ dan -1 < r < 1 sehingga rⁿ ® 0
   
   Dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri didapat :
   
   Jumlah tak berhingga    S_¥ = a/(1-r)
   
   Deret geometri tak berhingga akan konvergen (mempunyai jumlah) untuk -1 < r < 1
   
   Catatan:
   
   a + ar + ar² + ar³ + ar⁴ + .................
   
   Jumlah suku-suku pada kedudukan ganjil
   
   a+ar² +ar⁴+ .......                     S_ganjil = a / (1-r²)
   
   Jumlah suku-suku pada kedudukan genap
   
   a + ar³ + ar⁵ + ......                  S_genap = ar / 1 -r²
   
   Didapat hubungan : S_genap / S_ganjil = r
   

PENGGUNAAN
Perhitungan BUNGA TUNGGAL (Bunga dihitung berdasarkan modal awal)
M₀, M₁, M₂, ............., M_n
M₁ = M₀ + P/100 (1) M₀ = {1+P/100(1)}M₀
M₂ = M₀ + P/100 (2) M₀ = {1+P/100(2)} M₀
.
.
.
.
M_n =M₀ + P/100 (n) M₀ ® M^_n = {1 + P/100 (n) } M₀

Perhitungan BUNGA MAJEMUK (Bunga dihitung berdasarkan modal terakhir)
M₀, M₁, M₂, .........., M_n
M₁ = M₀ + P/100 . M₀ = (1 + P/100) M₀
M₂ = (1+P/100) M₀ + P/100 (1 + P/100) M₀ = (1 + P/100)(1+P/100)M₀
     = (1 + P/100)² M₀
.
.
.
Mn = {1 + P/100}ⁿ M₀
Keterangan :
M₀ = Modal awal
M_n = Modal setelah n periode
p   = Persen per periode atau suku bunga
n   = Banyaknya periode
Catatan:
Rumus bunga majemuk dapat juga dipakai untuk masalah pertumbuhan tanaman, perkembangan bakteri (p > 0) dan juga untuk masalah penyusutan mesin, peluruhan bahan radio aktif (p < 0).

DEFINISI
Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang diatur berdasarkan baris dan kolom.
A=é a b c ù
tttë d e f  û
Bilangan-bilangan a,b,c,d,e,f disebut elemen-elemen matriks A

ORDO
ORDO suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris, diikuti oleh banyaknya kolom.
A=é a b c ù
tttë d e f  û ordo matriks A_2x3
Banyaknya baris  = 2 ; baris 1 : a b c ; baris 2 : a b c
Banyaknya kolom = 3
kolom 1 : é a ù
tttttttttttë d û
kolom 2 : é b ù
tttttttttttë e û
MATRIKS BUJUR SANGKAR
Banyaknya baris dan kolom matriks adalah sama
A=é a b ù
tttë c d û A berordo 2

KESAMAAN MATRIKS
Dua matriks A dan B dikatakan sama (ditulis A = B), jika
a. Ordonya sama
b. Elemen-elemen yang seletak sama
       A                B
é    4p+q2 ù =   é 4     2  ù
ë 5p+q   5 û      ë 7   q+3 û
q + 3 = 5   ® q =2
5p + q = 7 ® p = 1

MATRIKS TRANSPOS                                               
                                                  _
Transpos dari suatu matriks A (ditulis A atau A' atau A^t) adalah matriks yang elemen barisnya adalah elemen kolom A, dan elemen kolomnya adalah elemen baris A.
A=é a b c ù
tttë d e f û 2x3
A^t =é a d ù
      ê b e ú
tt t  ë c f  û 3x2
keterangan:  A_2,1 = elemen baris ke 2 ; kolom ke 1

PENJUMLAHAN MATRIKS

Jumlali dua matriks A dan B (ditulis A + B) adalah matriks yang didapat dengan menjumlahkan setiap elemen A dengan elemen B yang bersesuaian (A dan B harus berordo sama).

A	+	B	=	A + B
é a b ù ë c d û		é p q ù ë r  s û		é a + p  b + q ù ë c + r   d + s û

PENGURANGAN MATRIKS
Pengurangan matriks A dan B, dilakukan dengan menjumlahkan matriks A dengan matriks negatip B.

A - B = A + (-B)

A	-	B	=	A - B
é a b ù ë c d û		é p q ù ë r  s û		é a - p  b - q ù ë c - r   d - s û

PERKALIAN MATRIKS DENGAN SKALAR
Jika k suatu skalar dan A suatu matriks, maka kA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen A dengan k.

A =

é a b ù ë c d û

® k A =

é ka kb ù ë kc kd û

Dua matriks A dan B terdefinisi untuk dikalikan, jika banyaknya kolom A = banyaknya baris B, dengan hasil suatu matriks C yang berukuran baris A x kolom B
          hasil
    ¾¾¾¾¾¾¾
A _{m x n} x B _{n x p} = C _{m x p}
            ¾¾¾
 Aturan perkalian
Yaitu dengan mengendalikan baris-baris A dengan kolom-kolom B, kemudian menjumlahkan hasil perkalian itu.
Contoh :
1.

A=	é a b ù ë c d û	dan B =	é x ù ë y û

A x B =	é a b ù ë c d û	é x ù ë y û	é ax + by ù ë cx + dy û

2.

[ a b c ]	é x ù ê y ú ë z û	=	[ ax + by + cz ]
1 x 3	3 x 1		1 x 1

3.

é a b c ù ë d e f û	é x ù ê y ú ë z û	=	é ax + by + cz ù ë dx + ey + fz û
2 x 3	3 x 1		2 x 1

Ket :
perkalian matriks bersifat tidak komutatif (AB ¹ BA) tetapi bersifat asosiatif (AB)C = A(BC).

Jika A2x2 = é a b ù , maka determinan matriks A didefinisikan sebagai Jika A2x2 = ë c d û                        + |A| = ad - bc                        -   -  - Jika A3x3 = é a b c ù a b Jika A3x3 = ê d e f ú d e Jika A3x3 = ë g h i  û g h                         +    +  + maka determinan matriks A didefinisikan sebagai |A| = aei + bfg + cdh - gec - hfa - idb Keterangan: Untuk menghitung determinan A3x3 dibantu dengan menulis ulang dua kolom pertama matriks tersebut atau cara ekspansi baris pertama. |A| =a ½ e f ½ - b ½ d f ½ + c ½ d e ½ = aei-afh-bdi+bfg+cdh-cge              ½ h i ½      ½ g i ½       ½ g h ½  Matriks Satuan dan Matriks Invers MATRIKS SATUAN adalah suatu matriks bujur sangkar, yang semua elemen diagonal utamanya adalah 1, sedangkan elemen lainya adalah 0. Notasi : I (Identitas) I2 = é 1 0 ù ë 0 1 û I3 = é 1 0 1 ù ê 0 1 0 ú ë 0 0 1 û Sifat AI = IA = A MATRIKS INVERS Jika A dan B adalah matriks bujur sangkar dengan ordo yang sama dan AB = BA = 1, maka B dikatakan invers dari A (ditulis A-1) dan A dikatakan invers dari B (ditulis B-1). Jika A = é a b ù , maka A-1 =     1       = é  d -b ù Jika A = ë c d û , maka A-1 = ad - bc ttt ë -c  a û Bilangan (ad-bc) disebut determinan dari matriks A Matriks A mempunyai invers jika Determinan A ¹ 0 dan disebut matriks non singular. Jika determinan A = 0 maka A disebut matriks singular. Sifat A . A-1 = A-1 . A = I Perluasan A . B = I    ® A = B-1      B = A-1 A . B = C ® A = C . B-1   B = A-1 . C Sifat-Sifat 1. (At)t = A 2. (A + B)t = At + Bt 3. (A . B)t = Bt . At 4. (A-t)-t = A 5. (A . B)-1 = B-1 . A-1 6. A . B = C ® |A| . |B| = |C| BAB II FUNGSI, PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKPONEN 2.1 Fungsi Eksponen     Fungsi eksponensial adalah salah satu fungsi yang paling penting dalam matematika. Biasanya, fungsi ini ditulis dengan notasi exp(x) atau ex, dimana e adalah basis logaritma natural yang kira-kira sama dengan 2.71828183. Fungsi eksponensial (merah) terlihat hampir mendatar horizontal (naik secara sangat perlahan) untuk nilai x yang negatif, dan naik secara cepat untuk nilai x yang positif. Sebagai fungsi variabel bilangan real x, grafik ex selalu positif (berada di atas sumbu x) dan nilainya bertambah (dilihat dari kiri ke kanan). Grafiknya tidak menyentuh sumbu x, namun mendekati sumbu tersebut secara asimptotik. Invers dari fungsi ini, logaritma natural, atau ln(x), didefinisikan untuk nilai x yang positif. 2.2 Persamaan Eksponen
Adalah persamaan yang didalamnya terdapat pangkat yang berbentuk fungsi dalam x (x sebagai peubah). [Ket. : Usahakan setiap bilangan pokok ditulis sebagai bilangan berpangkat dengan bilangan dasar 2, 3, 5, 7, dst]. BENTUK-BENTUK A. af(x) = ag(x) ® f(x) = g(x)     ® Samakan bilangan pokoknya sehingga pangkatnya dapat        disamakan. contoh : 2 SUKU ® SUKU DI RUAS KANAN, 1 SUKU DI RUAS KIRI Ö(82x-3) = (32x+1)1/4 (23)(2x-3)1/2 = (25)(x+1)1/4 2(6x-9)/2 = 2(5x-5)/4 (6x-9)/2 = (5x-5)/4 24x-36 = 10x+10 14x = 46 x = 46/14 = 23/7 3x²-3x+2 + 3x²-3x = 10 3².3x²-3x+3x²-3x = 10 9. 3x²-3x + 3x²-3x = 10 10. 3x²-3x = 10 3x² - 3x = 30 x² - 3x = 0 x(x-3) = 0 x1 = 0 ; x2 = 3 3 SUKU ® GUNAKAN PEMISALAN 22x + 2 - 2 x+2 + 1 = 0 22.22x - 22.2x + 1 = 0 Misalkan : 2x = p               22x = (2x)² = p² 4p² -4p + 1 = 0 (2p-1)² = 0 2p - 1 = 0 p =1/2 2x = 2-1 x = -1 3x + 33-x - 28 = 10 3x + 33/3x - 28 = 10 misal : 3x = p p + 27/p - 28 = 0 p² - 28p + 27 = 0 (p-1)(p-27) = 0 p1 = 1 ® 3x = 30              x1 = 0 p2 = 27 ® 3x = 33 x2 = 3 B. af(x) = bf(x) ® f(x) = 0 Bilangan pokok berbeda, pangkat sama. Pangkatnya = 0. Contoh: 3x²-x-2 = 7x²-x-2 x² - x -2 = 0 (x-2)(x+1) = 0 x1 = 2 ; x2 = -1 C. af(x) = bf(x) ® f(x) log a = g(x) log b Bilangan pokok berbeda, pangkat berbeda. Diselesaikan dengan menggunakan logaritma. Contoh: 4x-1 = 3x+1 (x-1)log4 = (x+1)log3 xlog4 - log4 = x log 3 + log 3 x log 4 - x log 3 = log 3 + log 4 x (log4 - log3) = log 12 x log 4/3 = log 12 x log 4/3 = log 12 x = log 12/ log 4/3 = 4/3 log 12 D. f(x) g(x) = f(x) h(x)      ® Bilangan pokok (dalam fungsi) sama, pangkat berbeda.Tinjau        beberapa kemungkinan. Pangkat sama g(x) = h(x) Bilangan pokok f(x) = 1           ket: 1g(x) = 1h(x) = 1 Bilangan pokok f(x) = -1 Dengan syarat, setelah nilai x didapat dari f(x)=-1 , maka nilai pangkatnya yaitu g(x) dan h(x) kedua-duanya harus genap atau kedua-duanya harus ganjil. ket : g(x) dan h(x) Genap : (-1)g(x) = (-1)h(x) = 1 g(x) dan h(x) Ganjil : (-1)g(x) = (-1)h(x) = -1 Bilangan pokok f(x) = 0 Dengan syarat, setelah nilai x didapat dari f(x) = 0, maka nilai pangkatnya yaitu g(x) dan h(x) kedua-duanya harus positif. ket : g(x) dan h(x) positif ® 0g(x) = 0h(x) = 0 Contoh: (x² + 5x + 5)3x-2 = (x² + 5x + 5)2x+3 Pangkat sama     3x - 2 = 2x + 3 ® x1 = 5 Bilangan pokok = 1 x² + 5x + 5 = 1 x² + 5x + 4 = 0 ® (x-1)(x-4) = 0 ® x2 = 1 ; x3 = 4 Bilangan pokok = -1 x² - 5x + 5 = -1 x² - 5x + 6 = 0 ® (x-2)(x-3) = 0 ® x = 1 ; x = 4 g(2) = 4 ; h(2) = 7 ; x=2 tak memenuhi karena (-1)4 ¹ (-1)7 g(3) = 7 ; h(3) = 9 ; x4 = 3 memenuhi karena (-1)7 = (-1)9 = -1 Bilangan pokok = 0 x² - 5x + 5 = 0 ® x5,6 = (5 ± Ö5)/2 kedua-duanya memenuhi syarat, karena : g(2 1/2 ± 1/2 Ö5) > 0 h(2 1/2 ± 1/2 Ö5) > 0 Harga x yang memenuhi persamaan diatas adalah : HP : { x | x = 5,1,4,3,2 1/2 ± 1/2 Ö5}

2.3 Pertidaksamaan Eksponen 

Bilangan Pokok a > 0 ¹ 1

Tanda Pertidaksamaan tetap/berubah tergantung nilai bilangan pokoknya
a > 1	0 < a < 1
af(x) > ag(x) ® f(x) > g(x) af(x) < ag(x) ® f(x) < g(x) (tanda tetap)	af(x) > ag(x) ® f(x) < g(x) af(x) < ag(x) ® f(x) > g(x) (tanda berubah)

Catatan: Untuk memudahkan mengingat, bilangan pokok 0 < a < 1 diubah saja menjadi a = 1.
Misal : 1/8 = (1/2)³ = 2^-3
Contoh:

(1/2)^2x-5 < (1/4)^(1/2x+1)
(1/2)^2x-5 < (1/2)^2(1/2x+1)

Tanda berubah (0 < a < 1)

2x - 5 > x +2
x > 7

3^2x - 4.3^x+1 + 27 > 0
(3^x)² - 4.3¹.3^x + 27 > 0
misal : 3^x = p
p² -12p + 27 > 0
(p - 9)(p - 3) > 0